جزء من عناصر إقليدس

جزء من عناصر إقليدس


جزء من عناصر إقليدس - التاريخ

عناصر إقليدس - 2500 سنة من التاريخ
بوب جاردنر
جامعة شرق ولاية تينيسي
قسم الرياضيات والإحصاء
جونسون سيتي ، تينيسي 37614

ترجمات أخرى ل العناصر


مخطوطة بودليان (888 م)
صورة من: http://www.claymath.org/euclid/ يعود تاريخ مخطوطة بودليان إلى عام 888 م. تحتوي هذه المخطوطة على الكتب من الأول إلى الخامس عشر من عناصر مع العديد من "scholia" أو التعليقات التفسيرية.

يعلن موقع معهد كلاي للرياضيات أن هذه الطبعة هي "أقدم مخطوطة" كاملة "لإقليدس عناصر ووفقًا لكتالوج معرض مكتبة بودليان ، فهي أقدم مخطوطة لمؤلف يوناني كلاسيكي تحمل تاريخًا. "لقد تم حفظها في مكتبة بودليان ، أكسفورد ، إنجلترا منذ عام 1804 ، وقد تمت كتابتها على رق في القسطنطينية". نسخة رقمية كاملة متاحة عبر الإنترنت على موقع Clay Mathematics (http://www.claymath.org/euclid/).


مخطوطة الفاتيكان رقم 190 (القرن العاشر)
صورة من: http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math.html مخطوطة الفاتيكان رقم 190. يعود تاريخها إلى القرن العاشر. ويحتوي على الكتب من الأول إلى الثاني عشر من عناصر مع scholia ، ثم تعليق Marinus على البيانات مع scholia. ثم ما يسمى ب "الكتب الرابع عشر والخامس عشر" من عناصر يتم تقديمه ، متبوعًا بثلاثة كتب وجزء من ربع تعليق لثيون. على الرغم من إلحاق تعليقات ثيون ، يكشف البحث أن النص الرئيسي أقدم من النسخ الأخرى المتاحة والتي تظهر تأثير التعديل بواسطة ثيون [هيث ، صفحة 46].

  • المخطوطة الثامن والثلاثون ، 3 من مكتبة Laurentian في فلورنسا بإيطاليا والتي يعود تاريخها إلى القرن العاشر ، تتضمن الكتب من الأول إلى الخامس عشر ، بصريات، و الظواهر.
  • تتضمن المخطوطات 18 و 19 للمكتبة المجتمعية في بولونيا بإيطاليا من القرن الحادي عشر الكتب من الأول إلى الثالث عشر و البيانات.
  • مخطوطة فيينا من القرن الثاني عشر والتي تتضمن الكتب من الأول إلى الخامس عشر ، بصريات، و الظواهر.
  • مخطوطتان من باريس من القرن الثاني عشر.


بردية أوكسيرينخوس
صورة من: http://scientists.penyet.net/euclid-the-father-of-geometry.html توجد بعض الأجزاء القديمة من ورق البردي التي تحتوي على أجزاء من العناصر. واحدة من أقدمها تسمى Oxyrhynchus Papyrus وتعود إلى حوالي 100 م. هنا ، نرى رسمًا تخطيطيًا من الكتاب الثاني ، الاقتراح 5.


أول مطبوعة عناصر
صورة من: http://www.historyofscience.com/G2I/timeline/index.php؟category=Mathematics+٪2F+Logic أول نسخة مطبوعة من العناصر ظهرت عام 1482 في البندقية. كان النص مبنيًا على ترجمة من العربية إلى اللاتينية ، يُفترض أن يكون قد قام بها أبيلارد أوف باث في القرن الثاني عشر ، وحرره جيوفاني كومبانو وشرحه. تضمنت أكثر من 400 شخصية.


محتويات

كان إقليدس عالم رياضيات يونانيًا كتب عناصر في الإسكندرية خلال الفترة الهلنستية (حوالي 300 قبل الميلاد). يعتقد العلماء أن عناصر هي إلى حد كبير مجموعة من النظريات التي أثبتها علماء رياضيات آخرون بالإضافة إلى أنها تحتوي على بعض الأعمال الأصلية. يكتب Proclus ، عالم الرياضيات اليوناني الذي عاش عدة قرون بعد إقليدس ، في تعليقه على عناصر: "إقليدس ، الذي جمع العناصر معًا ، وجمع العديد من نظريات Eudoxus ، وأتقن العديد من نظريات Theaetetus ، كما قدم أيضًا لإثبات لا يقبل الجدل عن الأشياء التي تم إثباتها بشكل فضفاض إلى حد ما من قبل أسلافه".

تمت ترجمة نسخة من تلميذ إقليدس تدعى Proclo لاحقًا إلى العربية بعد أن حصل عليها العرب من بيزنطة ومن تلك الترجمات الثانوية إلى اللاتينية. ظهرت الطبعة الأولى المطبوعة عام 1482 (استنادًا إلى طبعة 1260 لجيوفاني كامبانو) ، ومنذ ذلك الحين تُرجمت إلى العديد من اللغات ونشرت في حوالي ألف طبعة مختلفة. في عام 1570 ، قدم جون دي "مقدمة رياضية" تحظى باحترام كبير ، جنبًا إلى جنب مع ملاحظات وفيرة ومواد تكميلية ، لأول طبعة إنجليزية لهنري بيلينجسلي.

توجد أيضًا نسخ من النص اليوناني ، على سبيل المثال في مكتبة الفاتيكان ومكتبة بودليان في أكسفورد. ومع ذلك ، فإن المخطوطات المتاحة ذات جودة متغيرة للغاية وغير كاملة على الدوام. من خلال التحليل الدقيق للترجمات والأصول ، تم وضع فرضيات حول محتويات النص الأصلي (لم تعد نسخه متوفرة).

النصوص القديمة التي تشير إلى عناصر نفسها وللنظريات الرياضية الأخرى التي كانت موجودة في وقت كتابتها مهمة أيضًا في هذه العملية. يتم إجراء هذه التحليلات من قبل J.L Heiberg والسير Thomas Little Heath في طبعاتهم من النص.

أيضا من الأهمية هي scholia ، أو شروح النص. هذه الإضافات ، التي غالبًا ما تميزت عن النص الرئيسي (اعتمادًا على المخطوطة) ، تراكمت تدريجيًا بمرور الوقت حيث اختلفت الآراء حول ما كان يستحق الشرح أو التوضيح. بعضها مفيد ويضيف إلى النص ، لكن الكثير منها ليس كذلك.


جزء من عناصر إقليدس - التاريخ

يُعرف إقليدس تقريبًا لدى كل طالب في المدرسة الثانوية بأنه مؤلف كتاب The Elements ، وهو النص المدروس منذ فترة طويلة حول الهندسة ونظرية الأعداد. لم تتم ترجمة وتوزيع أي كتاب آخر على نطاق واسع باستثناء الكتاب المقدس. منذ وقت كتابته ، كان يُنظر إليه على أنه عمل غير عادي ودرسه جميع علماء الرياضيات ، حتى أعظم علماء الرياضيات في العصور القديمة - أرخميدس ، وهكذا كان ذلك خلال 23 قرنًا التي تلت ذلك. إنه بلا شك أفضل نص رياضيات تمت كتابته على الإطلاق ومن المرجح أن يظل كذلك في المستقبل البعيد.

هذه منمنمة من مخطوطة المساحين الرومان وجدت في Wolfenb & # 252ttel ، القرن السادس الميلادي

لا يُعرف الكثير عن إقليدس ، فلوريدا. 300BC ، مؤلف The Elements. قام بالتدريس والكتابة في متحف ومكتبة الإسكندرية التي أسسها بطليموس الأول.

كل شيء تقريبًا عنه يأتي من تعليق Proclus ، القرن الرابع بعد الميلاد. يكتب أن إقليدس جمع نظريات Eudoxus ، وأتقن العديد من Theaetetus ، وأكمل أعمالًا مجزأة تركها آخرون.

يقال إن إقليدس قال لأول بطليموس الذي استفسر عما إذا كانت هناك طريقة أقصر لتعلم الهندسة من العناصر:

العناصر - حقائق أساسية

  • كتبت منذ حوالي 2300 عام ،
  • لا توجد نسخ موجودة ،
  • تحتوي بعض قطع الفخار التي يعود تاريخها إلى 225 قبل الميلاد على ملاحظات حول بعض المقترحات ،
  • تم إصدار العديد من الطبعات الجديدة (على سبيل المثال Theon of Alexandria ، cent. AD)
  • أقدم نسخة من 888 م - في أكسفورد
  • الأسلوب: لا توجد أمثلة ، ولا دوافع ، ولا حسابات ، ولا ملاحظات بارعة ، ولا مقدمة ، ولا مقدمة - لا شيء سوى النظريات وبراهينها.
  1. العناصر
  2. البيانات - مجلد مصاحب للكتب الستة الأولى للعناصر المكتوبة للمبتدئين. يتضمن طرق هندسية لحل التربيعية.
  3. تقسيم الأشكال - مجموعة من ستة وثلاثين اقتراحًا تتعلق بتقسيم تكوينات المستوى. نجت فقط من قبل المترجمين العرب.
  4. الظواهر - في الهندسة الكروية ، تشبه عمل Autolycus
  5. البصريات - عمل مبكر على المنظور بما في ذلك البصريات ، والقياسات ، ومقاييس الانكسار.

  1. المسام - ربما نسخة قديمة من الهندسة التحليلية.
  2. السطح Loci -؟
  3. الكاذبة -؟

العناصر - الهيكل: ثلاثة عشر كتابًا

  • الكتب I-VI - هندسة الطائرة
  • الكتب السابع والتاسع - نظرية الأعداد
  • الكتاب العاشر - الأشياء غير القابلة للقياس
  • الكتاب الحادي عشر والثالث عشر - الهندسة الصلبة

العناصر - كتاب نموذجي

  • تعريفات
  • البديهيات - بديهية للجميع
  • المسلمات - خاصة بالموضوع قيد البحث
  • نظريات
  • المسلمات - 5
    1. لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة.
    2. لإنتاج خط مستقيم منتهي بشكل مستمر في خط مستقيم.
    3. لوصف دائرة بأي مركز ومسافة.
    4. أن جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض.
    5. هذا ، إذا كان الخط المستقيم الذي يقع على خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من الزوايا القائمة ، فإن الخطين المستقيمين ، إذا تم إنتاجهما إلى أجل غير مسمى ، يلتقيان في ذلك الجانب حيث تكون الزوايا أقل من الزوايا القائمة.
  • البديهيات - 5
    1. الأشياء التي تساوي نفس الشيء تتساوى أيضًا مع بعضها البعض.
    2. إذا تمت إضافة يساوي إلى يساوي ، فإن الأجمعين متساويتين.
    3. إذا تم طرح تساوي من يساوي ، فإن الباقي سيكون متساويًا.
    4. الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض تساوي بعضها البعض.
    5. الكل أكبر من الجزء.
  • القياس المنطقي: `` القياس المنطقي في الخطاب الذي يتم فيه ذكر أشياء معينة ، يتبعها بالضرورة من كونها كذلك. القرود من الثدييات.
  • طريقة ponens: إذا كان p ، ثم q. . لذلك ف.
  • طريقة العدسة: إذا كان p ، ثم q. لا ف. لذلك ، لا ص.

لإثبات هذا ، قم بتكوين الدوائر عند A و B لنصف قطر AB. جادل بأن نقطة التقاطع C تقع على مسافة متساوية من A و B ، وبما أنها تقع على الدائرتين ، فإن المسافة هي AB.

لاحظ أنه في الاقتراح I-1 ، يمكن لإقليدس أن يستأنف فقط التعاريف والمسلمات. لكنه لا يستخدم القياس المنطقي الأرسطي ، بل يستخدم طريقة ponens. لاحظ أيضًا أن هناك افتراضًا دقيقًا للطبيعة المستمرة للطائرة في الافتراض المرئي بأن الدوائر تتقاطع. لم يتم حل العيوب من هذا النوع بشكل أساسي حتى العصر الحديث.

الاقتراح I-4. (SAS) إذا كان للمثلثين ضلعان يساويان ضلعين على التوالي ، وكانت الزوايا الموجودة في الأضلاع متساوية أيضًا ، فإن المثلثين متطابقان.

ملاحظة: في المعالجات الحديثة للهندسة البسيطة ، يتم تقديم هذا الاقتراح كمسلمة.

ملاحظة: يستخدم هنا المصطلح الحديث المتطابق ، ليحل محل تأكيد إقليدس أن `` كل جزء من مثلث واحد يساوي الجزء المقابل من الآخر. & quot

الاقتراح I-5. في المثلثات متساوية الساقين ، تكون الزوايا الموجودة في القاعدة متساوية مع بعضها البعض ، وإذا تم إنتاج المزيد من الخطوط المستقيمة المتساوية ، فإن الزوايا الموجودة أسفل القاعدة ستكون مساوية لبعضها البعض.

دليل. قم بتمديد AC إلى D و AC إلى E. علامة مسافات متساوية BF و CG على مقاطعهما الخاصة. جادل الآن بأنه نظرًا لأن AF و AG متساويان وأن AC و AB متساويان وأن المثلثين ACF و ABG يشتركان في الزاوية المضمنة عند A ، فلا بد أن يكونا متطابقين. هذا يعني أن الجانبين FC و GB متساويان. ومن ثم ، فإن المثلثات FCB و GCB متطابقة (SAS). لذلك ، فإن الزوايا ومتساوية ، والتي يتبعها الاستنتاج.

هذا هو الدليل الذي قدمه إقليدس. تحتوي العديد من النظريات في The Elements على أدلة أبسط ، تم العثور عليها لاحقًا. هذا ليس استثناءا. تم تقديم الدليل التالي بواسطة Pappus: لاحظ أن المثلثين BAC و CAB متطابقان SAS (جانب-زاوية-جانب). إذن ، الزاويتان عند B و C متساويتان.

الاقتراح I-6. إذا كانت زاويتان في المثلث متساويتان ، فإن الأضلاع المتقابلة متساوية أيضًا.

  1. ب يساوي ج. افترض .
  2. افترض AB & gt AC. اجعل D بحيث يكون DC = AB.
  3. جادل الآن بأن المثلثين ABC و DBC متطابقان.
  4. وبالتالي ، فإن الجزء يساوي الكل.

الاقتراح I-29. الخط المستقيم المتقاطع مع خطين مستقيمين متوازيين يجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين ، والزاوية الخارجية تساوي الزاوية الداخلية والزاوية المقابلة ، والزاوية الداخلية على نفس الجانب تساوي زاويتين قائمتين.

  1. افترض .
  2. ثم مجموع و هو أكبر من مجموع و.
  3. لكن المجموع الأول هو زاويتان قائمتان. (احتمال I-13.)
  4. وبالتالي فإن المجموع الثاني أقل من زاويتين قائمتين ، وبالتالي فإن الخط ليس متوازيًا.

العناصر - الكتاب الثاني - 14 نظريات

يختلف الكتاب الثاني عن الكتاب الأول من حيث أنه يتعامل مع المستطيلات والمربعات. يمكن أن يطلق عليه الجبر الهندسي. هناك بعض الجدل بين علماء إقليدس حول ما إذا كان قد تم استخراجه مباشرة من الرياضيات البابلية. على أي حال ، من المؤكد أن قراءة مادة الكتاب الأول تلك أكثر صعوبة.

تعريف. يقال إن أي مستطيل يحتوي على خطين مستقيمين يشكلان الزاوية القائمة.

لا يضاعف إقليدس الطول والعرض أبدًا للحصول على المساحة. لا توجد مثل هذه العملية. يقوم بضرب الأعداد (الأعداد الصحيحة) في الطول.

II-1. إذا كان هناك خطان مستقيمان ، أحدهما مقطوع إلى أي عدد من المقاطع مهما كان ، فإن المستطيل الذي يحتويه الخطان المستقيمان يساوي مجموع المستطيلات التي يحتويها الخط المستقيم غير المصقول وكل جزء من المقاطع.

يجب أن يكون واضحًا أن هذا هو قانون التوزيع للضرب من خلال الجمع. ومع ذلك ، يتم التعبير عنها بحتة من حيث الهندسة.

1. لنفترض أن A و BC هما السطرين. قم بعمل التخفيضات العشوائية في D و E.

2. دع BF يرسم عموديًا على BC ويقطع عند G بحيث يكون BG هو نفسه A. أكمل الرسم التخطيطي كما هو موضح.

3. إذن BH يساوي BK ، DL ، EH

4. الآن جادل بأن الكل هو مجموع الأجزاء.

II-2. إذا تم قطع خط مستقيم عشوائيًا ، فإن المستطيل الذي يحتويه الكل وكلاهما يساوي المربع ككل.

II-4. إذا تم قطع خط مستقيم عشوائيًا ، فإن المربع ككل يساوي المربعات الموجودة على المقاطع ومرتين المستطيل الذي تحتويه المقاطع.

لاحظ بساطة التصور والفهم لنظرية ذات الحدين لـ n = 2.

تقدم العديد من المقترحات حلولًا هندسية للمعادلات التربيعية.

II-5. إذا تم قطع خط مستقيم إلى مقاطع متساوية وغير متساوية ، فإن المستطيل الذي تحتويه الأجزاء غير المتساوية من الكل مع المربع الموجود على الخط المستقيم بين نقطتي المقطع يساوي المربع الموجود في النصف.

يترجم هذا الاقتراح إلى المعادلة التربيعية

II-14. لبناء مربع يساوي الشكل المستقيم المحدد.

2. أنشئ عند نقطة منتصف AB ، وأنتج الخط EG بطول (a + c) / 2.

3. لذا فإن طول المقطع FG هو (أ - ج) / 2.

4. قم بتمديد الخط CD إلى P وقم بتكوين الخط GH بطول (a + c) / 2 (H على هذا الخط.).

5. وفقًا لنظرية فيثاغورس ، يكون طول المستقيم FH يساوي مربعًا

العناصر - الكتاب الثالث - 37 نظريات

يتعلق الكتاب الثالث بالدوائر ، ويبدأ بـ 11 تعريفًا للدوائر. على سبيل المثال ، يتم تقديم تعريف المساواة بين الدوائر (= إذا كان لها نفس القطر). تعتبر Tangency مثيرة للاهتمام لأنها تعتمد بشكل كبير على الحدس البصري:

التعريف 2. يقال إن الخط المستقيم يلمس دائرة لا تقطع الدائرة عند التقاء الدائرة ويتم إنتاجها.

إنكار 3. جزء من الدائرة هو الشكل الذي يحتويه خط مستقيم ومحيط الدائرة.

المفاهيم الأخرى هي شرائح وزوايا المقاطع وتشابه مقاطع الدوائر.

يبدأ إقليدس بالأساسيات:

III-1. للعثور على مركز دائرة معينة.

III-2. إذا تم أخذ نقطتين على محيط الدائرة بشكل عشوائي ، فإن الخط المستقيم الذي يربط بين النقاط يقع داخل الدائرة.

III-5. إذا قطعت دائرتان (لمست) بعضهما البعض ، فلن يكون لهما نفس المركز.

المشكلة العكسية: III-9. إذا تم أخذ نقطة داخل دائرة ، وسقط أكثر من خطين مستقيمين متساويين من النقطة الموجودة على الدائرة ، فإن النقطة المأخوذة هي مركز الدائرة.

III-11. إذا لامست دائرتان بعضهما البعض داخليًا ، وتم أخذ مراكزهم ، فإن الخط المستقيم الذي ينضم إلى مراكزهم ، إذا تم إنتاجه أيضًا ، سوف يقع على نقطة الاتصال.

III-16. الخط المستقيم المرسوم بزوايا قائمة على قطر الدائرة من أقصى طرف يقع خارج الدائرة ، وفي الفراغ بين الخط المستقيم ومحيطه لا يمكن تداخل خط مستقيم آخر. .

ثالثا - 31. (نظرية طاليس) في الدائرة تكون الزاوية في نصف الدائرة صحيحة ، وأكثر من ذلك. .

العناصر - الكتاب الرابع - 16 نظريات

كان بناء المضلعات المنتظمة هو الشغل الشاغل لليونانيين. يمكن إنشاء مثلثات ومربعات متساوية الأضلاع بوضوح ، أي نقشها في دائرة. يسمح التنصيف بأي عدد من المضاعفات ، على سبيل المثال سداسي وثمانيات. البنتاغون المنقوش هو بناء أكثر صعوبة. هذا الكتاب مخصص لحصر وكتابة المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة في دوائر.

IV-5. حول مثلث معين لتطويق دائرة.

IV-10. لإنشاء مثلث متساوي الساقين به كل زاوية من زوايا القاعدة المزدوجة للزاوية المتبقية.

IV-10 هو المفتاح لإثبات الاحتفال

IV-11. في دائرة معينة ، يتم كتابة خماسي متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.

العناصر - الكتاب الرابع - التحديث

الشكل المنتظم التالي الذي سيتم كتابته في دائرة هو 17-gon. وقد أنجز ذلك عالم رياضيات ليس أقل من كارل فريدريش جاوس في عام 1796 ، عندما كان عمره 18 عامًا فقط.

في الواقع ، عندما كان طالبًا في G & # 246ttingen ، بدأ العمل في منشوراته الرئيسية Disquisitiones Arithmeticae ، وهي واحدة من أعظم كلاسيكيات الأدب الرياضي. قرب نهاية هذا العمل ، قام بتضمين هذه النتيجة حول 17-gon ولكن أكثر.

لقد أثبت أن المضلعات المنتظمة الوحيدة التي يمكن إدراجها في دائرة لها

الأضلاع ، حيث m عدد صحيح و p هي أعداد Fermat الأولية.

تذكر أن Fermat primes هي أعداد أولية من النموذج

لدينا الجدول التالي من المضلعات التي يمكن إدراجها في دائرة:

هل كل هذه الأرقام ، الأعداد الأولية؟ لا ، أثبت أويلر أن التالي مركب. لا يعرف الآخرون. توقع أحد معاصري Gauss ، Fernidand Eisenstein (1823-1852) أن المجموعة الفرعية التالية من أرقام Fermat تتكون فقط من الأعداد الأولية:

لكن هذا لم يتم التحقق منه. الثلاثة الأوائل هم أول فيرمات ، 5 ، 17 ، 65.537. الرقم التالي يحتوي على أكثر من 45000 رقم.

العناصر - الكتاب الخامس - 25 نظريات

يعالج الكتاب الخامس النسبة والنسبة. يبدأ إقليدس بـ 18 تعريفًا حول المقادير التي تبدأ بجزء ، ومضاعف ، ونسبة ، ونفس النسبة ، والعديد من التعريفات الأخرى. ضع في اعتبارك التعريف 5 على نفس النسب.

التعريف 1. المقدار هو جزء من المقدار ، الأقل من الأكبر ، عندما يقيس الأكبر.

هذا يعني أنه يقسم الأكبر بدون باقي.

التعريف 4. يقال أن المقاييس لها نسبة بعضها إلى بعض والتي تكون قادرة ، عند مضاعفتها ، على تجاوز الأخرى.

هذا هو أساسًا بديهية أرخميدس: إذا كان a & lt b ، فهناك عدد صحيح n مثل أن na & gt b.

في النظرية الحديثة للمساحات المرتبة جزئيًا ، تلعب تلك المساحات التي لها ما يسمى بالملكية الأرشميدية دورًا خاصًا.

التعريف 5. يقال إن المقادير تكون بنفس النسبة ، الأولى إلى الثانية والثالثة إلى الرابعة ، عندما ، إذا كان هناك أي مضاعفات ، أيا كان ما يؤخذ من الأول والثالث ، وأي مضاعفات أيا كان من الثاني والرابع ، تتعدى المضاعفات السابقة على حد سواء ، أو تساوي أو تقصر على حد سواء ، عن المضاعفات الأخيرة المأخوذة على التوالي بالترتيب المقابل.

في التدوين الحديث ، نقول إن المقادير ، أ ، ب ، ج ، د هي بنفس النسبة أ: ب = ج: د إذا

الخامس 1. إذا كان هناك أي عدد من المقادير مهما كانت ، على التوالي ، مضاعفات أي مقادير متساوية في الكثرة ، إذن ، أيًا كان مضاعف المقادير واحدًا ، فسيكون هذا المضاعف أيضًا من الكل.

في التدوين الحديث ، دع المقادير تكون ودع م يكون مضاعفًا. ثم،

V-8. من الأحجام غير المتساوية ، كلما كان أكبر له نفس النسبة أكبر من الأصغر ، والأمر نفسه له نسبة أقل مما هو عليه إلى الأكبر.

في المصطلح الحديث ، لنفترض أن a & gt b و c يُعطى. ثم

العناصر - الكتاب السادس - 33 نظريات

الكتاب السادس عن تشابه الأرقام. يبدأ بثلاثة تعريفات.

التعريف 1. الأشكال المستقيمة المتشابهة مثل زواياها متساوية بشكل فردي والأضلاع حول الزوايا المتساوية متناسبة.

التعريف 3. ارتفاع أي شكل هو العمودي المرسوم من الرأس إلى القاعدة.

السادس -1. المثلثات ومتوازيات الأضلاع التي تقع تحت نفس ارتفاع قواعدها هي مع بعضها البعض.

السادس -5. إذا كانت أضلاع كل من المثلثين متناسبة ، فإن المثلثين سيكونان متساويين الزوايا وستكون هذه الزوايا متساوية مع الأضلاع المتناظرة.

السادس - 30. لقطع خط مستقيم منتهي في النسبة القصوى والمتوسطة.

بالطبع ، يجب أن تثبت كل التشابه بدقة.

العناصر - الكتاب السابع - 39 نظريات

الكتاب السابع هو أول كتاب من ثلاثة كتب عن نظرية الأعداد. يبدأ إقليدس بتعريفات الوحدة ، العدد ، الأجزاء ، مضاعفات العدد ، العدد الفردي ، العدد الزوجي ، الأرقام الأولية والمركبة ، إلخ.

تعريف 11. العدد الأولي هو الذي يتم قياسه بالوحدة وحدها.

التعريف 12. الأعداد الأولية لبعضها البعض هي تلك التي تقاس بالوحدة وحدها كمقياس مشترك.

السابع - 21. الأعداد الأولية لبعضها البعض هي الأقل من تلك التي لها نفس النسبة معهم.

السابع - 23. إذا كان هناك رقمان أوليان لبعضهما البعض ، فإن الرقم الذي يقيس أحدهما سيكون أوليًا للعدد المتبقي.

السابع -26. إذا كان رقمان أوليان لرقمين ، كلاهما ، فستكون منتجاتهما أيضًا أولية لبعضها البعض.

السابع - 31. أي رقم مركب يقاس بعدد أولي.

السابع - 32. أي رقم إما أولي أو يقاس بعدد أولي.

العناصر - الكتاب الثامن - 27 نظريات

يركز الكتاب الثامن على ما نسميه الآن التعاقب الهندسي ، لكن القدماء أطلقوا عليها اسم النسب المستمرة. لا شك أن الكثير من هذا يرجع إلى Archytas of Tarentum ، وهو فيثاغورس. الأرقام في نسبة مستمرة إذا

وهو نفس الشيء بالطبع.

السابع -1. إذا كان هناك العديد من الأرقام كما نرغب في التناسب المستمر ، وكانت الأطراف المتطرفة منها أولية لبعضها البعض ، فإن الأرقام هي الأقل من تلك التي لها نفس النسبة معهم.

تأمل 5: 3 و 8: 6 و 10: 6 و 16:12.

العناصر - الكتاب الثامن - 27 نظريات

الثامن - 8. إذا كان هناك بين رقمين أرقام تتناسب معهما باستمرار ، إذن ، ومع ذلك ، فإن أي أرقام بينهما في نسبة مستمرة ، فسيكون الكثير أيضًا في تناسب مستمر بين الأرقام التي هي في نفس نسبة الأرقام الأصلية.

يهتم إقليدس بنفسه في العديد من الافتراضات الأخرى للكتاب الثامن بتحديد شروط إدخال متوسط ​​الأعداد المتناسبة بين أعداد معينة من أنواع مختلفة. على سبيل المثال،

VIII-20. إذا وقع رقم واحد متناسب متوسط ​​بين رقمين ، فستكون الأرقام أرقام مستوية متشابهة.

في اللغة الحديثة ، افترض أن أ: س = س: ب ، إذن

The Elements - الكتاب التاسع - 36 نظريات

يحتوي الكتاب الأخير عن نظرية الأعداد ، الكتاب التاسع ، على المزيد من نتائج نظرية الأعداد المألوفة.

IX-20. الأعداد الأولية هي أكثر من أي عدد كبير من الأعداد الأولية.

دليل. اسمحوا أن تكون كل الأعداد الأولية. حدد +1. ثم ، بما أن N يجب أن تكون مركبة ، فإن أحد الأعداد الأولية ، على سبيل المثال. لكن هذا سخيف!

The Elements - الكتاب التاسع - 36 نظريات

IX-35. إذا كان أي عدد من الأرقام كما يحلو لنا في تناسب مستمر ، وكان هناك مطروح من الرقم الثاني والأخير مساوٍ للأول ، فعندئذٍ ، بما أن زيادة الرقم الثاني هي الأولى ، فسيكون فائض الأخير هو كل من قبله.

نحن نقول دع الأرقام تكون ، الاختلافات هي (ص -1) و. ثم تؤكد النظرية ذلك

The Elements - Book X - 115 Theorems. نظريات العناصر - الكتاب العاشر - 115

يعتبر العديد من المؤرخين أن هذا هو أهم الكتب. إنه الأطول وربما الأفضل تنظيمًا. الغرض هو تصنيف ما لا يمكن قياسه. الاقتراح الأول أساسي. إنها طريقة Eudoxus للإرهاق.

X-I. يتم إعطاء مقداران غير متكافئين ، إذا تم طرح مقدار أكبر من النصف من الأكبر ، ومن الذي ترك مقدارًا أكبر من نصفه ، وإذا تكررت هذه العملية باستمرار ، فسيتبقى مقدار أقل من أقل من المقادير المعطاة.

يسمح هذا الاقتراح بعملية تقريبية للطول التعسفي.

إكس -36. إذا تم إضافة خطين مستقيمين منطقيين متناسبين في المربع معًا ، فإن الكل غير منطقي.

العناصر - الكتاب X1-XIII

الفصول الثلاثة الأخيرة من العناصر تدور حول الهندسة الصلبة واستخدام عملية التحديد في حل مشاكل المساحة والحجم. على سبيل المثال،

الثاني عشر -2. الدوائر مع بعضها البعض مثل المربعات على الأقطار.

ستلاحظ أنه لا يوجد "صيغة & quot معبر عنها.

الثاني عشر - 7. الهرم هو الجزء الثالث من المنشور الذي له نفس القاعدة بارتفاع متساوٍ.


جزء من عناصر إقليدس - التاريخ

يعتبر ثنائي الوجوه وعشري الوجوه الأكثر غرابة في المواد الصلبة الأفلاطونية ، لأن لديهم تناظر دوراني 5 أضعاف - وهو الاحتمال الموجود فقط في الأشكال المتعددة الوجوه المنتظمة ذات الأبعاد 2 أو 3 أو 4. يحتوي كل من الاثني عشر الوجوه والعشريني الوجوه على نفس مجموعة التناظر ، لأنهما ثنائيات Poincar & ecute: تتوافق رؤوس أحدهما مع وجوه الآخر. لكن ربما تم اكتشاف المجسم العشريني في وقت لاحق. كما كتب بينو أرتمان:

قد تكون المعرفة الأصلية للاثني عشر الوجوه قد أتت من بلورات البيريت ، ولكن على النقيض من ذلك ، فإن العشريني الوجوه هو ابتكار رياضي خالص. إنه أول إدراك لكيان كان موجودًا من قبل فقط في الفكر المجرد. (حسنًا ، بصرف النظر عن تماثيل الآلهة!)

لست متأكدًا من أنه حقًا أي شيء قريب من أول & اقتباس لكيان كان موجودًا من قبل فقط في الفكر المجرد & quot. ولكن ربما كان أول كائن & quot؛ استثناء & quot؛ في الرياضيات - بالمعنى الحرفي للكلمة ، كيان لا يتناسب مع أي نمط سهل ، والذي تم اكتشافه كجزء من إثبات نظرية التصنيف!

تشمل الأشياء الاستثنائية الأخرى مجموعة الكذب البسيطة E8، والمجموعة المحدودة المحدودة M12. ومن المثير للاهتمام أن العديد من هذه الأشياء الاستثنائية مرتبطة ببعضها البعض. على سبيل المثال ، يمكن استخدام عشري الوجوه لبناء كل من E.8 و م12. لكن أول نظرية تصنيف مثيرة للاهتمام كانت تصنيف متعدد السطوح المنتظم: متعدد السطوح محدب مع مضلعات متساوية الأضلاع كوجوه ، ونفس عدد الوجوه التي تلتقي في كل رأس. تظهر هذه النظرية تقريبًا في نهاية الكتاب الأخير من كتاب عناصر إقليدس - الكتاب الثالث عشر. إنه يوضح أن الاحتمالات الوحيدة هي المواد الصلبة الأفلاطونية: رباعي السطوح ، المكعب ، المجسم الثماني ، ثنائي الوجوه وعشري الوجوه. ووفقًا للحكمة التقليدية ، فقد تم إثبات نتائج هذا الكتاب بواسطة Theatetus ، الذي اكتشف أيضًا المجسم العشريني!

في الواقع ، يستشهد Artmann بملاحظة قديمة & quotan مكتوبة على هوامش مخطوطة & quot من الكتاب الثالث عشر ، والتي تقول:

قد تعرف ثياتيتوس من خلال حوار أفلاطون الذي يحمل نفس الاسم ، حيث وصف بأنه عبقري رياضي. هو مذكور أيضًا في حوار أفلاطون المسمى السفسطائي. في كتاب الجمهورية حوالي 380 قبل الميلاد ، اشتكى أفلاطون من أنه لا يُعرف الكثير عن الهندسة الصلبة:

يبدو أن ثياتيتوس قد ملأ الفراغ: فقد عمل على الهندسة الصلبة بين 380 و 370 قبل الميلاد ، ربما مستوحى من اهتمام أفلاطون بالموضوع. توفي متأثرا بجروح المعركة والدوسنتاريا في 369 بعد أن خاضت أثينا معركة مع كورينث.

ولكن ما مدى يقيننا من أن Theatetus اكتشف - أو على الأقل درس - المجسم العشريني؟ يبدو أن الدليل الثابت الوحيد هو & quot؛ ملاحظة حاصل & quot؛ في هوامش العناصر. ولكن من كتبه ومتى؟

بادئ ذي بدء ، إذا كنت ترغب في رؤية مخطوطة قديمة لإقليدس مع ملاحظة مكتوبة في الهامش ، فاستعد للإحباط! كل ما لدينا هو نسخ من نسخ. تعود أقدم الأجزاء المتبقية من العناصر إلى قرون بعد وفاة إقليدس: بعضها من مكتبة في هركولانيوم تم تحميصها بسبب ثوران جبل فيزوف عام 79 م ، وزوجان من منطقة الفيوم بالقرب من النيل ، وبعضها من مكب للقمامة في مصر. بلدة أوكسيرينخوس.

هناك سطور مختلفة من نسخ عناصر إقليدس. مقارنة هذه لتخمين محتويات ملف أصلي العناصر مهمة صعبة ورائعة. لسوء الحظ ، في القرن الرابع الميلادي ، قام عالم الرياضيات اليوناني ثيون الإسكندري - والد هيباتيا - بعمل نسخة أصبحت شائعة للغاية. شائع جدًا ، في الواقع ، أن العلماء الأوروبيين لعدة قرون لم يعرفوا أي سطر من النسخ لم يمر عبر ثيون! ولم يكن ثيون ناسخًا مخلصًا: لقد أضاف اقتراحات إضافية ، وأطال بعض البراهين ، وحذف بعض الأشياء أيضًا. يبدو أنه أراد توحيد اللغة وتسهيل متابعتها. قد يكون هذا قد ساعد الأشخاص الذين يحاولون تعلم الهندسة - لكن بالتأكيد ليس العلماء الذين يحاولون فهم إقليدس.

في عام 1808 ، قام فرانسوا بيرارد باكتشاف رائع. وجد أن مكتبة الفاتيكان لديها نسخة من عناصر إقليدس التي لم تنزل من خلال ثيون!

هذه النسخة تسمى الآن & quotP & quot. يعود تاريخه إلى حوالي 850 م. أود أن أعرف كيف وضع بيرارد يديه عليه. يتخيله المرء يتجذر في قبو مغبر ويفتح صندوقًا. لكن يبدو أن نابليون أخذ هذه المخطوطة بطريقة ما من الفاتيكان إلى باريس.

في ثمانينيات القرن التاسع عشر ، استخدم الباحث الدنماركي الكبير يوهان هيبرغ & quotP & quot مع نسخ "العناصر" المختلفة & quot Theonine & quot لإعداد ما لا يزال يعتبر النسخة اليونانية النهائية لهذا الكتاب. تستند الترجمة الإنجليزية بالغة الأهمية التي كتبها توماس هيث على هذا الأساس. بقدر ما أستطيع أن أقول ، & quotP & quot هي النسخة الوحيدة المعروفة غير الثيونينية من إقليدس باستثناء الأجزاء التي ذكرتها. استخدم هيث أيضًا هذه الأجزاء لإعداد ترجمته.

هذه مجرد نظرة عامة سريعة على قصة بوليسية معقدة. كما هو الحال دائمًا ، يكشف نسيج التاريخ الفركتلي عن تعقيد أكثر كلما نظرت عن كثب.

على أي حال ، يعتقد هيث أن Geminus of Rhodes كتب & quot؛ ملاحظة الحاصل & quot في العناصر التي تدين Theatetus. لست متأكدًا من سبب اعتقاد هيث بذلك ، لكن Geminus of Rhodes كان عالم فلك وعالم رياضيات يوناني عمل خلال القرن الأول قبل الميلاد.

في مقالته الساحرة & quot؛ اكتشاف المواد الصلبة العادية & quot؛ كتب ويليام ووترهاوس:

ذات مرة لم تكن هناك مشكلة في تاريخ المواد الصلبة العادية. وفقًا لـ Proclus ، فإن اكتشافات فيثاغورس تشمل & quotthe بناء المواد الصلبة الكونية ، & quot ؛ ويمكن للمؤرخين الأوائل أن يفترضوا فقط أن هذا الموضوع قد نشأ بالكامل من رأسه. لكن الصورة المطورة بشكل أفضل لنمو الهندسة اليونانية جعلت مثل هذا التاريخ المبكر يبدو مشكوكًا فيه ، وتم الكشف عن أدلة تشير إلى إسناد مختلف. تم إجراء دراسة شاملة للشهادة من قبل E.Sachs ، واستنتاجها مقبول الآن بشكل عام: الإسناد إلى Pythagoras هو سوء فهم و / أو اختراع لاحق.

وهكذا فإن تاريخ المواد الصلبة العادية يعتمد بالكامل تقريبًا على سكوليوم لإقليدس الذي يقرأ على النحو التالي:

& quot في هذا الكتاب ، الثالث عشر ، تم بناء 5 شخصيات تسمى أفلاطون ، والتي لا تنتمي إلى أفلاطون. ثلاثة من هذه الأشكال الخمسة ، المكعب ، والهرم ، والاثني عشر الوجوه ، تنتمي إلى فيثاغورس بينما ينتمي الثماني الوجوه والعشروني الوجوه إلى ثياتيتوس. & quot

عاش Theaetetus ج. 415-369 قبل الميلاد ، لذا فإن هذا الإصدار يعطي تاريخًا متأخرًا إلى حد ما وله ميزة كبيرة تتمثل في أنه يبدو غير مرجح. أي أن التفاصيل في السكوليوم ليست من نوع التاريخ الذي يمكن للمرء أن يخمنه بسذاجة ، ومن ثم فهو على الأرجح ليس من القصص التي تم اختراعها في أواخر العصور القديمة. كما يقول فان دير فيردن ، فإن السكوليوم مقبول الآن على نطاق واسع & quot ؛ لأنه يتعارض بشكل مباشر مع التقليد الذي اعتاد أن ينسب إلى فيثاغورس أي شيء حدث. & quot

لكن الحجج الاحتمالية يمكن أن تقطع كلا الاتجاهين ، وأولئك العلماء الذين يترددون في قبول السكوليوم يفعلون ذلك في المقام الأول لأنه يبدو غير مرجح للغاية. كان هناك مكانان رئيسيان للالتصاق: أولاً ، أبكر ثنائي الوجوه مقارنةً بالعشروني الوجوه ، والثاني ، التأخير المفاجئ للثماني الوجوه. ومع ذلك ، فقد تم التخلص من الاعتراض الأول بشكل جيد إلى حد ما. البايرايت المعدني (FeS2) يتبلور في أغلب الأحيان في شكل مكعبات و dodecahedra شبه منتظم وهو منتشر على نطاق واسع ، كونه الكبريتيد الأكثر شيوعًا ، وتوجد بلورات بارزة في عدد من المواقع في إيطاليا. علاوة على ذلك ، فإنه يحدث بشكل منتظم ممزوجًا بخامات الكبريتيد ، وتحت الخامات المؤكسدة للنحاس ، وقد تم عمل هذه الرواسب منذ العصور القديمة. وهكذا كانت الدوديكاهيدرا الطبيعية واضحة ، وفي الواقع أنها جذبت الانتباه: تم العثور على دوديكاهيدرا اصطناعية في إيطاليا يرجع تاريخها إلى ما قبل 500 قبل الميلاد. بلورات إيكوساهدرا ، في المقابل ، أقل شيوعًا. Hence there is no real difficulty in supposing that early Pythagorean geometers in Italy were familiar with dodecahedra but had not yet thought of the icosahedron.

Indeed, while iron pyrite هل form "pseudoicosahedra":

I've never seen one, while the "pyritohedra" resembling regular dodecahedra are pretty common:

The puzzle of why the octahedron showed up so late seems to have this answer: it was known earlier, but it was no big deal until the concept of regular polyhedron was discovered! As Waterhouse says, the discovery of the octahedron would be like the discovery of the 4rd perfect number. Only the surrounding conceptual framework makes the discovery meaningful.

So far, so good. But maybe the Greeks were not the first to discover the icosahedron! In 2003, the mathematicians Michael Atiyah and Paul Sutcliffe wrote:

Various people including John McKay and myself spread this story without examining it very critically. I did read Dorothy Marshall's excellent paper "Carved stone balls", which catalogues 387 carved stone balls found in Scotland, dating from the Late Neolithic to Early Bronze Age. It has pictures showing a wide variety of interesting geometric patterns carved on them, and maps showing where people have found balls with various numbers of bumps on them. But it doesn't say anything about Platonic solids.

In March of 2009, Lieven le Bruyn posted a skeptical investigation of Atiyah and Sutcliffe's claim. For starters, he looked hard at the photo in their paper:

Who put on the ribbons? Lieven le Bruyn traced back the photo to Robert Lawlor's 1982 book Sacred Geometry. In this book, Lawlor wrote:

But is this really true? Le Bruyn discovered that the Ashmolean owns only 5 Scottish stone balls - and their webpage shows a photo of them, which looks quite different than the photo in Lawlor's book!

They have no ribbons on them. More importantly, they're different shapes! The Ashmolean lists their 5 balls as having 7, 6, 6, 4 and 14 knobs, respectively - nothing like an icosahedron.

And here is where I did a little research of my own. The library at UC Riverside has a copy of Keith Critchlow's 1979 book Time Stands Still. In this book, we see the same photo of stones with ribbons that appears in Lawlor's book - the photo that Atiyah and Suttcliffe use. In Critchlow's book, these stones are called "a full set of Neolithic 'Platonic solids'". He says they were photographed by one Graham Challifour - but he gives no information as to where they came from!

And Critchlow explicitly denies that the Ashmolean has an icosahedral stone! هو يكتب:

It seems the myth of Scottish balls shaped like Platonic solids gradually grew with each telling. Could there be any truth to it? Dorothy Marshall records Scottish stone balls with various numbers of knobs, from 3 to 135 - but just two with 20, one at the National Museum in Edinburgh, and one at the Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow. Do these look like icosahedra? I'd like to know. But even if they do, should we credit Scots with "discovering the icosahedron"? ربما لا.

So, it seems the ball is in Theaetetus' court.

The quote from Benno Artmann appeared in a copy of the AMS Bulletin where the cover illustrates a construction of the icosahedron:

5) Benno Artmann, About the cover: the mathematical conquest of the third dimension, Bulletin of the AMS, 43 (2006), 231-235. Also available at http://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-06-01111-6/

For more, try this wonderfully entertaining book:

6) Benno Artmann, Euclid - The Creation of Mathematics, Springer, New York, 2nd ed., 2001. (The material on the icosahedron is not in the first edition.)

It's not a scholarly tome: instead, it's a fun and intelligent introduction to Euclid's Elements with lots of interesting digressions. A great book for anyone interested in math!

I should also get ahold of this someday:

7) Benno Artmann, Antike Darstellungen des Ikosaeders, Mitt. DMV 13 (2005), 45-50.

Heath's translation of and commentary on Euclid's Elements is available online thanks to the Perseus Project. The scholium crediting Theatetus for the octahedron and icosahedron is discussed here:

while the textual history of the Elements is discussed here:

9) Euclid, Elements, trans. Thomas L. Heath, Chapter 5: The Text, p. 46. Also available at http://old.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+5

Anyone interested in Greek mathematics also needs these books by Heath, now available cheap from Dover:

10) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics. المجلد. 1: From Thales to Euclid. المجلد. 2: From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications, 1981.

The long quote by Waterhouse comes from here:

11) William C. Waterhouse, The discovery of the regular solids, Arch. اصمت. Exact Sci. 9 (1972-1973), 212-221.

I haven't yet gotten my hold on this "thorough study" mentioned by Waterhouse - but I will soon:

12) Eva Sachs, Die funf platonischen Koerper, zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer, Berlin, Weidmann, 1917.

I also want to find this discussion of how Peyrard got ahold of the non-Theonine copy of Euclid's Elements:

13) N. M. Swerlow, The Recovery of the exact sciences of antiquity: mathematics, astronomy, geography, in Rome Reborn: The Vatican Library and Renaissance Culture, ed. Grafton, 1993.

Here is Atiyah and Sutcliffe's paper claiming that the Ashmolean has Scottish stone balls shaped like Platonic solids:

14) Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, Polyhedra in physics, chemistry and geometry, available as arXiv:math-ph/0303071.

Here is le Bruyn's critical examination of that claim:

Here are the books by Critchlow and Lawlor -speculative books from the "sacred geometry" tradition:

16) Keith Critchlow, Time Stands Still, Gordon Fraser, London, 1979.

17) Robert Lawlor, Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames and Hudson, London, 1982. Available at http://www.scribd.com/doc/13155707/robert-lawlor-sacred-geometry-philosophy-and-practice-1982

Here's the Ashmolean website:

18) British Archaeology at the Ashmolean Museum, Highlights of the British collections: stone balls, http://ashweb2.ashmus.ox.ac.uk/ash/britarch/highlights/stone-balls.html

and here's Dorothy Marshall's paper on stone balls:

In the process of researching my talk, I learned a lot about Euclid's Elements, where the construction of the icosahedron - supposedly due to Theaetetus - is described. This construction is Proposition XIII.16, in the final book of the Elements, which is largely about the Platonic solids. This book also has some fascinating results about the golden ratio and polygons with 5-fold symmetry!

The coolest one is Proposition XIII.10. It goes like this.

Take a circle and inscribe a regular pentagon, a regular hexagon, and a regular decagon. Take the edges of these shapes, and use them as the sides of a triangle. Then this is a right triangle!

is the side of the pentagon,

is the side of the hexagon, and

is the side of the decagon, then

We can prove this using algebra - but Euclid gave a much cooler proof, which actually find this right triangle hiding inside an icosahedron.

First let's give a completely uninspired algebraic proof.

Start with a unit circle. If we inscribe a regular hexagon in it, then obviously

So we just need to compute P and D. If we think of the unit circle as living in the complex plane, then the solutions of

are the corners of a regular pentagon. So let's solve this equation. We've got

0 = z 5 - 1 = (z - 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)

so ignoring the dull solution z = 1, we must solve

This says that the center of mass of the pentagon's corners lies right in the middle of the pentagon.

Now, quartic equations can always be solved using radicals, but it's a lot of work. Luckily, we can solve this one by repeatedly using the quadratic equation! And that's why the Greeks could construct the regular pentagon using a ruler and compass.

The trick is to rewrite our equation like this:

Now it's a quadratic equation in a new variable. So while I said this proof would be uninspired, it did require a tiny glimmer of inspiration. But that's all! Let's write

Solving this, we get two solutions. The one I like is the golden ratio:

This is another quadratic equation:

with two conjugate solutions, one being

I've sneakily chosen the solution that's my favorite 5th root of unity:

z = exp(2&pii/5) = cos(2&pi/5) + i sin(2&pi/5)

A fact we should have learned in high school, but probably never did.

Now we're ready to compute P, the length of the side of a pentagon inscribed in the unit circle:

Next let's compute D, the length of the side of a decagon inscribed in the unit circle! We can mimic the last stage of the above calculation, but with an angle half as big:

To go further, we can use a half-angle formula:

But we can simplify this a bit more. As any lover of the golden ratio should know,

تمام. Your eyes have glazed over by now - unless you've secretly been waiting all along for This Week's Finds to cover high-school algebra and trigonometry. But we're done. We see that

That wasn't so bad, but imagine discovering it and proving it using axiomatic geometry back around 300 BC! كيف فعلوا ذلك؟

20) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1981.

This is reputed to be be the most thorough investigation of the logical structure of Euclid's Elements! And starting on page 257 he discusses how people could have discovered P 2 = H 2 + D 2 by staring at an icosahedron!

This should not be too surprising. After all, there are pentagons, hexagons and decagons visible in the icosahedron. But I was stuck until I cheated and read Mueller's explanation.

If you hold an icosahedron so that one vertex is on top and one is on bottom, you'll see that its vertices are arranged in 4 horizontal layers. From top to bottom, these are:

  • 1 vertex on top
  • 5 vertices forming a pentagon: the "upper pentagon"
  • 5 vertices forming a pentagon: the "lower pentagon"
  • 1 vertex on bottom

Pick a vertex from the upper pentagon: call this A. Pick a vertex as close as possible from the lower pentagon: call this B. A is not directly above B. Drop a vertical line down from A until it hits the horizontal plane on which B lies. Call the resulting point C.

If you think about this, or better yet draw it, you'll see that ABC is a right triangle. And if we apply the Pythagorean theorem to this triangle we'll get the equation

To see this, we only need to check that:

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

Different circles, but of the same radius! What's this radius? Take all 5 vertices of the "upper pentagon". These lie on a circle, and this circle has the right radius.

Using this idea, it's easy to see that the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle. It's also easy to see that BC equals the edge of a decagon inscribed in a circle of the same radius. The hard part, at least for me, is seeing that AC equals the edge of a hexagon inscribed in a circle of the same radius. or in other words, the radius of that circle! (The hexagon seems to be a red herring.)

To prove this, we need a wonderful fact: the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

I just found a very beautiful proof. I could explain it easily with lots of pictures, but I'm too lazy to draw them electronically. I don't feel too guilty about this, though: I've given enough clues for you to figure everything out and draw the pictures yourself. It's lots of fun. And if you draw nice electronic pictures, I'd love to include them here and credit you!

Okay, okay. I'll give you one more hint. Consider the "top" vertex of the icosahedron and the 5 vertices forming the "upper pentagon". يترك أ be any vertex on the upper pentagon, and let ب be the top vertex. Drop a vertical line from the top vertex until it hits the plane of the upper pentagon call the point where it hits ج. Prove that the triangle ABC is congruent to the right triangle ABC. And using this, show the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

I thank Toby Bartels for help with some of this stuff.

إضافة: Kevin Buzzard explained some of the Galois theory behind why the pentagon can be constructed with ruler and compass - or in other words, why the quartic

can be solved by solving first one quadratic and then another.

("this one" being z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.)

. و هذا because the Galois group of that محدد irreducible polynomial is "only" cyclic of order 4. The splitting field is Q(&zeta5), which is a cyclotomic field, so has Galois group (Z/5Z)*. No Z/3Z factors so no messing around with cube roots, for example.

With this observation above, I'm trying to convince you that the proof really يكون completely uninspired To solve the quartic by solving two quadratics, you need to locate the degree 2 subfield of Q(z) (z=&zeta5) and aim towards it (because it's your route to the solution). This subfield is clearly the real numbers in Q(z), and the real numbers in Q(z) contains z+z*=z+z -1 . So that's sort of a completely conceptual explanation of why the trick works and why it's crucial to introduce z+z -1 .


Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus

This papyrus fragment is one of the the oldest, if not the oldest, existing text from Euclid&rsquos عناصر. Euclid compiled and wrote his عناصر in Alexandria, Egypt, in about 300 BCE, in Greek. The fragment, also written in Greek, was found in Egypt in 1897 and has been dated to the end of the first century CE. It is called the Oxyrhynchus papyrus, named after the place in Egypt where it was found. Archeologists B. P. Grenfell and A. S. Hunt uncovered an ancient rubbish dump from which they excavated many valuable finds, among which was this fragment. The text and diagram are from Euclid&rsquos عناصر, Book II, Proposition 5, which states:

If a straight line is cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section, is equal to the square on the half.

The image was made by William Casselman, University of British Columbia, from the papyrus collection at the University of Pennsylvania and is used with his permission. For additional information about the papyrus, see Casselman's webpage about it, titled "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid."

Frank J. Swetz (The Pennsylvania State University), "Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus," Convergence (August 2013)


The books

Elements consists of 13 books, the first 6 refer to basic plane geometry. From the seventh to the tenth deals with all numerical issues Prime, radical, and divisibility numbers. The last 3 books cover topics on geometry of solids, polyhedra and circumstantial spheres. To consult the published books, you can follow the following link.

  • Book I
  • Book II
  • Book III
  • Book IV
  • Book V
  • Book VI
  • Book VII
  • Book VIII
  • Book IX
  • Book X
  • Book XI
  • Book XII
  • Book XIII

Book XII and Book XIII are complete and available in Spanish-Catalan, comparable to Heath’s text. With a multitude of pending corrections, we hope the start of the new phase that begins the project.


The Reader Intervention

ال Elements, which contains 13 volumes, has appeared in at least hundreds of editions, and until the last century it was the second-best-selling book in the world. (The Bible was first.) But not everything in the عناصر came from Euclid. The volumes represent a collection of mathematics knowledge known to the Greeks at the time. Physicist Stephen Hawking described Euclid as “the greatest mathematical encyclopedist of all time,” likening him to Noah Webster, who assembled the first English language dictionary (2).

ال عناصر was translated from Greek, Arabic, Latin, Hebrew, and other languages. The treatise evolved as it grew and migrated—and so did the diagrams. Readers made notes in the margins and inserted changes. Later readers and translators saw both the manuscript and the additions and made revisions that seemed appropriate for their time. Those interactions are captured in transcriptions of the proofs and diagrams in the Elements, and the act of copying became an act of transformation, says Eunsoo Lee, a PhD student at Stanford University studying the evolution of diagrams over time in the Elements.

“We may easily forget about the role of readers in the making of diagrams,” says Lee, noting that they could intervene or intermingle by marking on the manuscript. Later, scribes took those notes into consideration. “If they determined that the marginal diagrams [were] superior to the main diagrams,” explains Lee, “the marginal diagrams were adopted as the main diagrams for later generations.” These visual changes conveyed mathematical ideas in ways that couldn't be transmitted through text.

It’s too simplistic to call these changes errors. Some of the changes may have been intended as improvements others arose from cultural practices. Arabic reads right-to-left, for example, so in early Arabic versions of the عناصر the orientations of its diagrams were often flipped—angles that opened to the left in ancient Greek manuscripts opened to the right in the Arabic versions. However, when those Arabic versions were translated into Latin, some scribes didn’t flip the diagrams back.

Mathematician Robin Hartshorne, retired from the University of California, Berkeley, further argues that it’s not necessarily fair to see changing the diagrams as a corrective process. Even with curves and erasures, those pentadecagon diagrams got the point across. Printing the عناصر with accurate diagrams reflects the values of a time, he says, but it's a practice disloyal to earlier versions. “I would call it redrawing the diagram to the taste of modern mathematicians who like to see metrical exactness,” says Hartshorne.

“These are hand-drawn diagrams of things that are not necessarily easy to represent,” adds science historian Courtney Roby, who studies ancient scientific texts at Cornell University, in Ithaca, New York. “Diagrams are the creations of individual authors and scribes, and their creativity and experimentation and change.”


The History of Physics #1 – Introduction

With its form and content, physics has started in a way with Galileo Galilei (1564-1642) and Sir Isaac Newton’s (1642-1727) works.

Newton’s “Philosophiae Naturalis Principa Mathematica” or just “Principia” published in 1686 has 3 books and is one of the most important sources for modern science.

This title describes this branch of science named physics in a really nice way. Physics are based on movement at the most basic level.

Movement is the way things change their places in space and time. The terms space and time are more than what a normal human brain can process make the word “Movement” harder to understand.

2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library.

Another thing that makes movement hard to understand is that movement is relative to the observer and never the same to two or more places or observers. Movement changes accordingly to the place the observer observes.

These differences in observations gave scientists the suspicion of the way something moves to be able to change according to the observation system.

Even though Newton’s “Principia” has the mathematical basis of classical physics, the base terms of physics have been put forth by Galileo.

Because of that, it would be more appropriate if we thought of physics as before and after Galileo. The “before Galileo” era of physics had far less information for understanding the world around us.

To interpret the ideas and experiences of that era with our advanced knowledge would be extremely meaningless, but Ancient Greek philosophers’ thoughts and ways of thinking have built up the base knowledge of both classical (1600-1900) and modern (1900-today) physics.

The most important thing that made physics go forth in the ancient era is most probably Eukleides (325-265 B.C.) redefining geometry and putting it into a systematic order.

One of the oldest surviving fragments of Euclid’s عناصر, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100 (P. Oxy. 29). The diagram accompanies Book II, Proposition 5

Eukleides’ book named “Stoikhea” consists of 13 installments and it’s the first systematic debate about geometry. Some of the axioms’ debates in this book were relevant until the end of 19. Century. Then they realized the flaws and perfected them.

  1. Cover image: Various examples of physical phenomena collage by Daniele Pugliesi (Public Domain)
  2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library. (CC BY-SA 4.0)
  3. One of the oldest surviving fragments of Euclid’s عناصرhttp://www.math.ubc.ca/

Tunçer Efe Kıray

I'm Efe, 16. I'm studying at the Istanbul High School , one of the most prestigious high schools in Turkey. I have been a professional chess player for 9 years. I want to study Physics at the university.


شاهد الفيديو: العصر الذهبي للعلوم - 2 الرياضيات